约数

约数

如果一个整数n能除以整数d余数为0,那么d就是n的约数,又称因数,n就是d的倍数,那么如何求去一个数n的所有约数呢?
1.试除,首先我们知道约数,总是成对出现的,一个数d是n的,那么n/d也是这个数n的约数,除非完全平方数

int fd[1000],m=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
	if(n%i==0)
	{
		f[++m]=i;
		if(i!=n/i) f[++m]=n/i;//完全平方数特殊判断
	}
}

2.若用试除法来求n的每一个数是否为n的约数,太过于浪费时间,时间复杂度过高,必须得进行一个优化。我们可以反过来考虑每一个数,对于每一个数d,1~N中以d为约数的数就是d的倍数d,2d,3d。所以,使用倍数法来进行求取

vector <int> f[5000];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
	for(int j=1;j<=n/i;j++)
		f[i*j].push_back(i);//全部保存倍数
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<f[i].size();j++)
		{
			cout<<f[i][j]<<" ";
		}
	}
}

最大公约数

其实这些东西的概念我们并不陌生。
其实就是说,两个数的公共的因数中最大的那个数。
那么我们定义两个数gcd(a,b)为两个数的最大公因数,lcm(a,b)就是两个数的最小公倍数。那么就有下面的公式:

gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b

所以依据这个我们就可以求出来了,这里运用到辗转相除法,不再一一讲述了

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
int gcd(int a,int b)
{
	return b?gcd(b,a%b):a;
}
int lcm(a,b)
{
	int gcdd=gcd(a,b);
	return a*b/gcdd;
}//lcm*gcd=a*b

互质

如果两个数gcd(a,b)=1,说明a,b互质
gcd(a,b)=gcd(b,c)=gcd(a,c)=1 就叫做两两互质

欧拉函数

1~n中与n互质的数的个数,叫做欧拉函数
φ(x)=x(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))……(1-1/p(n))

φ(10)=10×(1-1/2)×(1-1/5)=4
φ(30)=30×(1-1/2)×(1-1/3)×(1-1/5)=8;
φ(49)=49×(1-1/7)=42;

long long eular(long long n)
{
	long long ans=n;
	for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
	{
		if(n%i==0)
		{
			ans=ans/i*(i-1);//统计个数 
			while(n%i==0)
				n/=i;//去除 
		}
	}
	if(n>1) ans=ans/n*(n-1);//特判 
	return ans;
}

至于为什么ans=ans/i*(i-1),其实这里就是一个小小的化简,展开来其实就是ans=ans*(1-1/i),只是考虑到分数之间的运算,所以用以一个化简
ans×(1-1/i)
=ans-ans/i
=i×ans/i - ans/i
=i×ans-ans/i
=(i-1)×ans/i
欧拉函数的性质:
1~n中与n互质的数的和为n×φ(n)/2
如果a,b互质,那么φ(ab)=φ(a)φ(b)

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