CINTA作业一:加减乘除

整数与二进制

提要:理解与掌握二进制数在计算机的运算方面的应用


文章目录

  • 整数与二进制
  • 一、简单乘法
    • 1.递归版
    • 2.迭代版
  • 二、证明命题1.1
  • 三、除法算法的证明


   

一、简单乘法

1.递归版

 代码如下(示例):摘自《具体数论与代数》
                      摘自王立斌老师《具体数论与代数》

2.迭代版

 代码如下(示例):

#include<stdio.h> 
int naive_multiply(int a,int b);
void main()
{
	printf("输入要计算的整数a和b\n");
	int a,b;
	scanf("%d",&a); 
	scanf("%d",&b); 

	printf("a*b=");
	printf("%d",naive_multiply(a,b));
}

int naive_multiply(int a,int b)
{
	int result=0,k=1;
	while(b!=0)
	{
		if(b%2==0)   ;
		else  result+=a*k;
		b=b/2;
		k=k*2;
	}
	return result;
}

 
 


二、证明命题1.1

在这里插入图片描述

定理: 2 0 2^{0} 20+ 2 1 2^{1} 21+……+ 2 n 2^{n} 2n= 2 n + 1 − 1 2^{n+1}-1 2n+11

证明:
 显然这是一个首项为1,公比为2的等比数列求和问题
 根据公式有
   S n S_{n} Sn= n a 1 a_{1} a1 (q=1)
 
   S n S_{n} Sn= a ₁ ( 1 − q ⁿ ) 1 − q \frac{a₁(1-qⁿ)}{1-q} 1qa(1q) (q ≠ \neq = 1)
 
 带入数据得 S n S_{n} Sn= 2 n + 1 2^{n+1} 2n+1-1
 故命题1.1的相关二进制算法得证。

 
 


三、除法算法的证明

在这里插入图片描述

充分性:
 构造集合
   S={a-bk;  k ∈ \in Z 且 a-bk ≥ \geq 0};
 显然,集合S非空。由良序原则,存在一个最小元 r  ∈ \in  S,且 r = a - qb
 因此,a = qb + r,r ≥ \geq 0
 
 显然,集合中必定存在一个 k 1 k_{1} k1,使得 r = a-b k 1 ≥ k_{1}\geq k1 0,且 a - b( k 1 k_{1} k1+1) <0
 则有 a - b k 1 k_{1} k1 < b
 即 r < b
 
  综上所述,0 ≤ \leq r < b

 

必要性:
 假设 q 和 r 不唯一,则有 a = q 1 q_{1} q1b + r 1 r_{1} r1和 a = q 2 q_{2} q2b + r 2 r_{2} r2 (0 ≤ \leq r 1 r_{1} r1 < b,0 ≤ \leq r 2 r_{2} r2 < b)
 两式相减得, r 2 r_{2} r2 - r 1 r_{1} r1 = b ( q 1 q_{1} q1 - q 2 q_{2} q2)
∵ \because q != 0
∴ \therefore b能整除 r 2 r_{2} r2 - r 1 r_{1} r1
  又 ∵ \because 0 ≤ \leq r 1 r_{1} r1 < b,0 ≤ \leq r 2 r_{2} r2 < b
∴ \therefore -b < r 2 r_{2} r2 - r 1 r_{1} r1 < b
∴ \therefore r 2 r_{2} r2 - r 1 r_{1} r1 = 0
  即 r 2 r_{2} r2 = r 1 r_{1} r1
  则由题设 a = q 1 q_{1} q1b + r 1 r_{1} r1 = q 2 q_{2} q2b + r 2 r_{2} r2 可得, q 1 q_{1} q1 = q 2 q_{2} q2
  因此原命题不成立
  则可认为 q 和 r 是唯一的

综合以上两点,则可证明“除法算法”成立

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