矩阵取数游戏题解(区间dp)

NOIP2007 提高组 矩阵取数游戏 

哎,题目很狗,第一次踩这个坑,单拉出来写个题解记录一下

题意:给一个数字矩阵,一次操作:对于每一行,可以去掉左端或者右端的数,得到的价值为2的i次方乘这个数,i为第i次操作(从1开始),问最后能得到的最大价值是多少

思路:区间dp,首先要考虑到行与行之间是没有影响的,所以我们可以每一行每一行单独处理,对于每一行来说,每一个状态具有的属性无非是当前剩下的数的区间和形成这个区间已经得到的价值,因此定态就是dp[i] [j]代表这一行还剩下i~j这些数的时候得到的最大价值。那么这个状态的上一个状态有哪些情况呢?无非两种:要么是区间[i-1~j]去掉左端点得到,要么是区间[i~j+1]去掉右端点得到,所以转移方程就是:

dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+val[i-1],dp[i][j+1]+val[j+1]);

像这种转移方程,不能用单纯的循环i,j来做的基本都是区间dp,至于这个val[i]其实就是这个数乘上2的m-区间长度次方,至于为什么不用pow,呵呵,被它坑过的人都懂,血与泪的教训,pow内部用的泰勒展开,虽然很快,但是对整数来讲精度太低了,很容易在处理过程中被放大误差,所以能不用都别用,谁用谁寄。所以到这里问题就迎刃而解了.....吗?

哎,下面才是这题坑人的地方:导致我交了一发只有60分。就是这个题的数据范围爆long long了,想想也是,m的范围到80,2的80次方肯定爆啊,结果我想都没想就交了,呜呜呜。爆long long的解决方法有三种:

1-手写高精度

2-用__int128

3-用python

这题1,2都可以,3的话不确定,因为博主python学的太垃圾了,所以没试,大概率会t,这里就放一个比较简单的__int128的写法吧:

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define int __int128
 //__int128不能用标准的输入输出写,只能用字符手推值的形式,输出也是不能直接cout。
 inline int read() 
 {
     int X=0,w=1;
     char ch=getchar();
     while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
     while(ch>='0' && ch<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+ch-'0',ch=getchar();
     return X*w;
 }
 //注意这个print,它不能处理0和负数,因此如果有需要要特判。
 void print(int x)
 {
     if(!x) return;
     if(x) print(x/10);
     putchar(x%10+'0');
 }
 int x[100][100];
 //这个三维数组你看成100个二维数组就行了,不难理解的、
 int dp[100][100][100];
 int fun[100];
 //这里预处理一下2的80次方
 void init(){
     int t=1;
     for(int i=0;i<=80;i++){
         fun[i]=t;
         t*=2;
     }
 }
 signed main(){
     init();
     int n,m;
     n=read();
     m=read();
     for(int i=1;i<=n;i++){
         for(int j=1;j<=m;j++){
             x[i][j]=read();
         }
     }
     int ans=0;
     for(int t=1;t<=n;t++){
         //枚举长度(区间dp不会的建议先去做石子合并)
         for(int len=m-1;len>=1;len--){
             for(int i=1;i<=m-len+1;i++){
                 int j=i+len-1;
                 dp[t][i][j]=max(dp[t][i-1][j]+fun[m-len]*x[t][i-1],dp[t][i][j+1]+fun[m-len]*x[t][j+1]);
             } 
         }
         int ma=0;
         for(int i=1;i<=m;i++){
             ma=max(dp[t][i][i]+x[t][i]*fun[m],ma);
         }
         ans+=ma;        
     }
     //这里要特判一下0,不然就会像我一样又喜提一发90分。
     if(ans==0){
         cout<<0<<endl;
         return 0;
     }
     print(ans);
     return 0;
 }

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